Conversion

Objectifs

Comment convertir les nombres entre différentes bases ?

• Écrire un nombre entier en forme canonique décimale
• Convertir de n'importe quelle base en base 10
• Convertir de la base 10 en base 2

Cours

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Exercices

Forme canonique

Écrire les nombres suivants sous forme canonique décimale :

1. 42₁₀
   Solution

   4 × 10¹ + 2 × 10⁰
2. 1100₂
   Solution

   1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 0 × 2⁰
3. 123₄
   Solution

   1 × 4² + 2 × 4¹ + 3 × 4⁰
4. 1010₈
   Solution

   1 × 8³ + 0 × 8² + 1 × 8¹ + 0 × 8⁰
5. 3CD₁₆
   Solution

   3 × 16² + 12 × 16¹ + 13 × 16⁰

Toutes les solutions

1. 4 × 10¹ + 2 × 10⁰
2. 1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 0 × 2⁰
3. 1 × 4² + 2 × 4¹ + 3 × 4⁰
4. 1 × 8³ + 0 × 8² + 1 × 8¹ + 0 × 8⁰
5. 3 × 16² + 12 × 16¹ + 13 × 16⁰

Conversion de base

Convertir les nombres suivants dans la base demandée :

1. 1100₂ = ?₁₀
   Solution

   1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 0 × 2⁰ = 8 + 4 = 12₁₀
2. 123₄ = ?₁₀
   Solution

   1 × 4² + 2 × 4¹ + 3 × 4⁰ = 16 + 8 + 3 = 27₁₀
3. 1010₈ = ?₁₀
   Solution

   1 × 8³ + 0 × 8² + 1 × 8¹ + 0 × 8⁰ = 512 + 8 = 520₁₀
4. 123₄ = ?₂
   Solution

   Passer par la base 10 (cf ex 2) : 123₄ = 27₁₀ = 16 + 8 + 2 + 1 = 11011₂
5. 1010₈ = ?₂
   Solution

   Passer par la base 10 (cf ex 3) : 1010₈ = 520₁₀ = 512 + 8 = 10 0000 1000₂
6. 42₇ = ?₂
   Solution

   Passer par la base 10 :42₇ = 4 × 7¹ + 2 × 7⁰ = 30₁₀ = 16 + 8 + 4 + 2 = 1 1110₂
7. 1000 0000₂ = ?₁₀
   Solution

   1 × 2⁷ = 128₁₀
8. 0111 1111₂ = ?₁₀
   Solution

   C'est nombre juste avant 1000 0000₂ (ex 7) : 0111 1111₂ = 1000 0000₂ - 1 = 128₁₀ - 1 = 127₁₀
9. 256₈ = ?₂
   Solution

   Passer par la base 10 : 256₈ = 2 × 8² + 5 × 8¹ + 6 × 8⁰ = 174₁₀ = 128 + 32 + 8 + 4 + 2 = 1010 1110₂
10. 1FF₁₆ = ?₂
    Solution

    Passer par la base 10 : 1FF₁₆ = 1 × 16² + 15 × 16¹ + 15 × 16⁰ = 511₁₀ = 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 1 1111 1111₂

Toutes les solutions

1. 1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 0 × 2⁰ = 8 + 4 = 12₁₀
2. 1 × 4² + 2 × 4¹ + 3 × 4⁰ = 16 + 8 + 3 = 27₁₀
3. 1 × 8³ + 0 × 8² + 1 × 8¹ + 0 × 8⁰ = 512 + 8 = 520₁₀
4. Passer par la base 10 (cf ex 2) : 123₄ = 27₁₀ = 16 + 8 + 2 + 1 = 11011₂
5. Passer par la base 10 (cf ex 3) : 1010₈ = 520₁₀ = 512 + 8 = 10 0000 1000₂
6. Passer par la base 10 :42₇ = 4 × 7¹ + 2 × 7⁰ = 30₁₀ = 16 + 8 + 4 + 2 = 1 1110₂
7. 1 × 2⁷ = 128₁₀
8. C'est nombre juste avant 1000 0000₂ (ex 7) : 0111 1111₂ = 1000 0000₂ - 1 = 128₁₀ - 1 = 127₁₀
9. Passer par la base 10 : 256₈ = 2 × 8² + 5 × 8¹ + 6 × 8⁰ = 174₁₀ = 128 + 32 + 8 + 4 + 2 = 1010 1110₂
10. Passer par la base 10 : 1FF₁₆ = 1 × 16² + 15 × 16¹ + 15 × 16⁰ = 511₁₀ = 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 1 1111 1111₂

Références

• https://apprendre.modulo-info.ch/rep-info/entiers.html
• https://fr.vikidia.org/wiki/Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration
• https://fr.wikipedia.org/wiki/Base_(arithm%C3%A9tique)

Outils

• Convertisseur décimal, hexadécimal, binaire
• Conversion de base 2 en base 10
• Conversion de base 10 en base 2