Conversion

Objectifs

Comment passer d'une base à une autre ?

• Écrire un nombre entier en forme canonique décimale
• Convertir de n'importe quelle base en base 10
• Convertir de la base 10 en base 2

Cours

Conversion

Information et architecture

Équivalence des bases

Base 10	Base 2	Base 3	Base 4	Base 8	Base 16
0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1
2	10	2	2	2	2
3	11	10	3	3	3
4	100	11	10	4	4
5	101	12	11	5	5
6	110	20	12	6	6
7	111	21	13	7	7
8	1000	22	20	10	8
9	1001	100	21	11	9
10	1010	101	22	12	A

Équivalence des bases

• • 6 en base 10 est équivalent à 110 en base 2

Forme canonique décimale

• Forme permettant de représenter n'importe quel nombre entier positif de manière unique

• 1291

  • Les 1 n'ont pas la même valeur

• 1291 = 1000 + 200 + 90 + 1

• 1291 = 1 × 1000 + 2 × 100 + 9 × 10 + 1 × 1

• 1291 = 1 × 10³ + 2 × 10² + 9 × 10¹ + 1 × 10⁰

• 1291₁₀ = 1 × 10³ + 2 × 10² + 9 × 10¹ + 1 × 10⁰

  • Forme canonique

Forme canonique décimale

• 102₄

  • = 1 × 4² + 0 × 4¹ + 2 × 4⁰

  • = 18₁₀

• 1010₂

  • = 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 0 × 2⁰

  • = 10₁₀

Conversion entre bases ? → 10 avec un tableau

1023₄ = ?₁₀

1	0	2	3

• Mettre les chiffres dans un tableau

Conversion entre bases ? → 10 avec un tableau

1023₄ = ?₁₀

1	0	2	3
43	42	41	40

• Écrire les puissances de la base en partant de la droite (puissance 0)

Conversion entre bases ? → 10 avec un tableau

1023₄ = ?₁₀

1	0	2	3
64	16	4	1

• Écrire les puissances de la base en partant de la droite (puissance 0)

Conversion entre bases ? → 10 avec un tableau

1023₄ = ?₁₀

1	0	2	3
64	16	4	1
1 × 64	0 × 16	2 × 4	3 × 1

• Calculer les produits par colonne

Conversion entre bases ? → 10 avec un tableau

1023₄ = ?₁₀

1	0	2	3
64	16	4	1
64	0	8	3

• Calculer les produits par colonne

Conversion entre bases ? → 10 avec un tableau

1023₄ = ?₁₀

1	0	2	3
64	16	4	1
64	0	8	3

• Faire la somme des résultats

• 64 + 0 + 8 + 3 = 75

• 1023₄ = 75₁₀

Conversion entre bases 2 → 10 avec un tableau

10 1010₂ = ?₁₀

1	0	1	0	1	0

Conversion entre bases 2 → 10 avec un tableau

10 1010₂ = ?₁₀

1	0	1	0	1	0
32	16	8	4	2	1

Conversion entre bases 2 → 10 avec un tableau

10 1010₂ = ?₁₀

1	0	1	0	1	0
32	16	8	4	2	1
32	0	8	0	2	0

Conversion entre bases 2 → 10 avec un tableau

10 1010₂ = ?₁₀

1	0	1	0	1	0
32	16	8	4	2	1
32	0	8	0	2	0

• 32 + 8 + 2 = 42

• 10 1010₂ = 42₁₀

Conversion entre bases 10 → 2

666₁₀ = ?₂

• Lister (depuis la droite) les puissances de 2 plus petites que le nombre

1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1

Conversion entre bases 10 → 2

666₁₀ = ?₂

• Enlever la plus grande puissance de 2 possible jusqu'à obtenir 0

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1

•  

•  

•  

•  

•  

Conversion entre bases 10 → 2

666₁₀ = ?₂

• Enlever la plus grande puissance de 2 possible jusqu'à obtenir 0

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
1

• 666 - 512 = 154

•  

•  

•  

•  

Conversion entre bases 10 → 2

666₁₀ = ?₂

• Enlever la plus grande puissance de 2 possible jusqu'à obtenir 0

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
1	0	1

• 666 - 512 = 154

• 154 - 128 = 26

•  

•  

•  

Conversion entre bases 10 → 2

666₁₀ = ?₂

• Enlever la plus grande puissance de 2 possible jusqu'à obtenir 0

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
1	0	1	0	0	1

• 666 - 512 = 154

• 154 - 128 = 26

• 26 - 16 = 10

•  

•  

Conversion entre bases 10 → 2

666₁₀ = ?₂

• Enlever la plus grande puissance de 2 possible jusqu'à obtenir 0

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
1	0	1	0	0	1	1

• 666 - 512 = 154

• 154 - 128 = 26

• 26 - 16 = 10

• 10 - 8 = 2

•  

Conversion entre bases 10 → 2

666₁₀ = ?₂

• Enlever la plus grande puissance de 2 possible jusqu'à obtenir 0

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
1	0	1	0	0	1	1	0	1	0

• 666 - 512 = 154

• 154 - 128 = 26

• 26 - 16 = 10

• 10 - 8 = 2

• 2 - 2 = 0

Conversion entre bases 10 → 2

666₁₀ = ?₂

666₁₀ = 10 1001 1010₂

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
1	0	1	0	0	1	1	0	1	0

• 666 - 512 = 154

• 154 - 128 = 26

• 26 - 16 = 10

• 10 - 8 = 2

• 2 - 2 = 0

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Exercices

Forme canonique

Écrire les nombres suivants sous forme canonique décimale :

1. 42₁₀
2. 1100₂
3. 123₄
4. 1010₈
5. 3CD₁₆

Toutes les solutions

1. 4×10¹ + 2×10⁰
2. 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 0×2⁰
3. 1×4² + 2×4¹ + 3×4⁰
4. 1×8³ + 0×8² + 1×8¹ + 0×8⁰
5. 3×16² + 12×16¹ + 13×16⁰

Conversion de base

Convertir les nombres suivants dans la base demandée :

1. 1100₂ = ?₁₀
2. 123₄ = ?₁₀
3. 1010₈ = ?₁₀
4. 123₄ = ?₂
5. 1010₈ = ?₂
6. 42₇ = ?₂
7. 1000 0000₂ = ?₁₀
8. 0111 1111₂ = ?₁₀
9. 256₈ = ?₂
10. 1FF₁₆ = ?₂

Solutions avec détails

1. 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 0×2⁰ = 8 + 4 = 12₁₀
2. 1×4² + 2×4¹ + 3×4⁰ = 16 + 8 + 3 = 27₁₀
3. 1×8³ + 0×8² + 1×8¹ + 0×8⁰ = 512 + 8 = 520₁₀
4. Passer par la base 10 (cf ex 2) : 123₄ = 27₁₀ = 16 + 8 + 2 + 1 = 11011₂
5. Passer par la base 10 (cf ex 3) : 1010₈ = 520₁₀ = 512 + 8 = 10 0000 1000₂
6. Passer par la base 10 :42₇ = 4×7¹ + 2×7⁰ = 30₁₀ = 16 + 8 + 4 + 2 = 1 1110₂
7. 1×2⁷ = 128₁₀
8. C'est le nombre juste avant 1000 0000₂ (ex 7) : 0111 1111₂ = 1000 0000₂ - 1 = 128₁₀ - 1 = 127₁₀
9. Passer par la base 10 : 256₈ = 2×8² + 5×8¹ + 6×8⁰ = 174₁₀ = 128 + 32 + 8 + 4 + 2 = 1010 1110₂
10. Passer par la base 10 : 1FF₁₆ = 1×16² + 15×16¹ + 15×16⁰ = 511₁₀ = 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 1 1111 1111₂

Conversion

Remplir le tableau suivant en convertissant les nombres dans les bases indiquées :

Décimal	Binaire	Hexadécimal
74
	101110
		A4

Solutions

Décimal	Binaire	Hexadécimal
74	1001010	4A
46	101110	2E
164	10100100	A4

Références

• https://apprendre.modulo-info.ch/rep-info/entiers.html
• https://fr.vikidia.org/wiki/Syst%C3%A8me_de_num%C3%A9ration
• https://fr.wikipedia.org/wiki/Base_(arithm%C3%A9tique)

Outils

• Convertisseur décimal, hexadécimal, binaire
• Conversion de base 2 en base 10
• Conversion de base 10 en base 2